Linear Algebra Done Right: 1

向量空间

域

域是一个定义了运算且封闭的集合 $F$：

1. 加法和乘法都有交换律
2. 加法和乘法都有结合律
3. 存在加法单位元，即 $a + 0 = a$
4. 存在乘法单位元，即 $a \times 1=a$
5. 存在加法逆元，对于任意 $a$ 都存在唯一的 $b \in F,a+b=0$
6. 存在乘法逆元，对于任意 $a \neq 0$ 都存在唯一的 $b \in F,a\times b=1$
7. 乘法对加法有分配律

思考：为什么叫“加法单位元”而不叫“零元”

避开一些分析的方法，从以上定义出发，$0\times a=(0+0)\times a$从而$0\times a=0$

反过来，若有$0\times a=0$，则$a=(1+0)\times a=1\times a+0\times a=a+0$，零元也是加法单位元，所以这个定义是充要的.

联系加法和乘法的只有乘法分配律，所以利用乘法分配律是必须的.

绕开分析只从代数角度出发，我们可以定义很多有意思的域，比如模2意义下的同余空间，只有$0,1$，而$1+1=0$.

以域为基础，我们可以定义向量空间，也叫线性空间.

考虑一般的数域，可以证明有理数是“最小的数域”，很有意思的结论.

本书中的$F$一般指$\R,\Complex$.

向量空间（线性空间）

定义了加法和标量乘法的集合$V$，每个元素视为向量或点.

一般定义时还需陪嫁一个域$F$，每个元素视为标量，称V是F上的向量空间.

1. 加法交换
2. 加法结合，标量乘法结合
3. 存在加法单位元
4. 存在乘法单位元
5. 存在加法逆元
6. 标量乘法对向量加法有分配律

这样的定义有点抽象代数的味道，下面来探究一些性质.

1.25 加法单位元唯一

设$0,0'$均为加法单位元，则$0'=0'+0=0+0'=0$.

所以加法单位元唯一.

看起来很傻，但是是为了下面更强的结论.

1.26 加法逆元唯一

若$v\in V$，设$w,w'$均为$v$加法逆元，则
$w=w+0=w+(v+w')=(w+v)+w'=0+w'=w'$.

所以加法逆元唯一，从而可以唯一地定义$v$的加法逆元为$-v$，$w-v=w+(-v)$. $(1.27)$

1.29 1.30 标量加法单位元和向量加法单位元

如果引入一些外部结构，比如用数组来描述向量，向量加法单位元当然是$(0,0...,0)$.

对于标量0，$0\times v=(0+0)\times v,0\times v=0$.

对于向量0，$\lambda \times 0=\lambda \times(0+0),\lambda\times 0=0$.

和上面类似，加法单位元即是零元，定义是充要的.

1.31 -1和逆元

$v+(-1)v=(1-1)v=0v=0$，所以$(-1)v=-v$.

1.B 习题

4. 空集是向量空间吗？

无加法单位元，所以不是向量空间。

6. 定义$\infty,-\infty$为两个不同的对象，均不属于$\R$，在$R \cup\{\infty\}\cup \{-\infty\}$上定义加法，标量乘法.

$t\infty=\begin{cases} -\infty,t<0\\ 0,t=0\\ \infty,t>0\end{cases}$

$t(-\infty)=\begin{cases} \infty,t<0\\ 0,t=0\\ -\infty,t>0\end{cases}$

$t+\infty=\infty+t=\infty$

$\infty+\infty=\infty,\infty+(-\infty)=0$

证明这个集合不是向量空间.

取$a\neq b,a,b\in \R,a\infty=b\infty,(a-b)\infty=0,\infty=0$

取$t\neq 0,t=t+0=t+\infty=\infty=0$，矛盾，且加法单位元不唯一，不是向量空间.

有点非标准分析的味道.

子空间

若$U$是$V$的子集，且也是向量空间，则称$U$是$V$的子空间。

1.34 判断子空间

1. $0\in U$
2. 对加法封闭
3. 对数乘封闭

如果2，3成立，第一条等价于非空。

子空间的和

子集的和：若$U_1,...,U_m$均为$V$的子集，则定义$U_1+...+U_m=\{ u_1+...+u_m,u_1\in U_1,...,u_m\in U_m\}$.

类似后面提到的张成，两条线能张成一个面，而线的并显然不封闭.

而子空间的交显然是子空间，考虑每个元素的“双重身份”.

1.38 子空间的和是包含这些子空间的最小子空间

有0且封闭，故子空间的和是子空间.

其余$u$均取$0$，得到$U_k\in U_1+...+U_m$.

反过来，如果有子空间包含了$U_1,...,U_m$，那么所有元素的和也是在里面的，所以子空间的和就是最小的.

直和

定义$U_1+...+U_m$是直和，当且仅当他们的和中的每个元素可以唯一表示为$u_1+...+u_m$，记为$U_1\oplus U_2\oplus ...\oplus U_m$.

1.44 直和的条件

$U_1+...+U_m$是直和当且仅当 $0$ 表示为 $u_1+...+u_m$的唯一方式是每个都是 $0$.

充分性：若是直和，则$0\in U_k,0+...+0=0$，所以唯一方式是均为 $0$.

必要性：若 $0$ 的表示唯一，假设对于$v\in U_1+...+U_m, v=u_1+....+u_m,v=u_1'+...+u_m'$存在不同表示，

相减得$0=(u_1-u_1')+....+(u_m-u_m')$，由封闭性，每一项都属于对应的集合，而0的表示唯一，所以$u_k-u_k'=0$，矛盾. 和为直和.

1.45 两个子空间的直和

若$U,W$均为$V$子空间，则$U+W$是直和当且仅当$U\cap W=\{0\}$.

充分性：若$U+W$是直和，取$v\in U\cap W，-v\in U\cap W,0=v+(-v),v\in U,-v\in W$，而$0=0+0,0\in U,0\in W$，所以$\forall v \in U\cap W,v=0$.

必要性：若$0=u+w,u\in U,w\in W$，而$u=-w\in W,w=-u\in U$，所以$u,w\in U\cap W,u=w=0$，$U+W$是直和.

0在线性代数中总是发挥神奇的作用. 线性一大性质良好就体现在对于0的很多命题看似充分实际上充要.

1. C 习题

7. 给出$\R^2$的非空子集$U$对于加法和加法逆元封闭，但不是子空间.

$U=\{(x,x):x\in \Z \}$

子空间连续性应和标量一致.

8. 给出$\R^2$的非空子集$U$对于标量乘法封闭，但不是子空间.

$U=\{(x,x):x\neq 0\}$

11. 任意子空间的交是子空间

$u,w\in U\cap W,u\in U,u\in W,w\in U,w\in W\Rightarrow u+w\in U,u+w\in W,u+w \in U\cap W$

然后归纳即可.

15. $U+U=U$

16. $U+W=W+U$

17. $(U_1+U_2)+U_3=U_1+(U_2+U_3)$

18. 子空间加法单位元是$\{0\}$

19. 设$U=\{(x,y,x+y,x-y,2x)\in \mathbb F^5:x,y\in \mathbb F\}$，构造$\mathbb F^5$的三个非$\{0\}$子空间使得$\mathbb F^5=U\oplus W_1 \oplus W_2 \oplus W_3$

一共要$5$的自由的元，现在有两个，构造三个，每个分别一个即可.$W_1=(0,0,x,0,0),W_2=(0,0,0,y,0),W_3=(0,0,0,0,z)$.

24. 考虑 $\R\rightarrow \R$，$U_e$是全体偶函数构成的集合，$U_o$是全体奇函数构成的集合，证明$\R^{\R}=U_e\oplus U_o$

$U_e\cap U_o=0(x)$，对于任意$F(x)\in \R^{\R}$，若要$F(x)=f(x)+g(x),F(-x)=f(x)-g(x)$，取$f(x)=\frac {F(x)+F(-x)} 2,g(x)=\frac {F(x)-F(-x)} 2$即可，故$\R^{\R}=U_e+U_o$.所以是直和.

有点反演的味道？