Linear Algebra Done Right: 2

有限维向量空间

2.A 张成空间与线性无关

引入更多指标来刻画向量空间.

2.3 线性组合

$V$的一组向量$v_1,...v_m$的线性组合定义为$a_1v_1+...+a_mv_m, a_1,...,a_m\in \mathbb F$.

张成空间

$v_1,...,v_m$的张成空间定义为他们的所以线性组合，记为$span(v_1,...,v_m)=\{a_1v_1+...+a_mv_m:a_1,...,a_m\in \mathbb F\}$，定义空向量组$()$的张成空间为${0}$.

2.7 张成空间是包含这组向量的最小空间

类似前面的，$span$ 显然是一个子空间，且包含$v_1,...,v_m$，而包含$v_1,...,v_m$的空间比如有他们所有的线性组合，即一定包含$span$.

2.8 张成

若$V=span(v_1,...,v_m)$，称$v_1,...,v_m$张成$V$.

2.10 有限维向量空间

如果一个向量空间可由某个向量组张成，则该向量空间为有限维的.

多项式可以视为特殊的有限维向量空间，$P_m(F)=span(1,z,...,z^m)$.

2.15 无限维空间

如果不是有限维就是无限维.

这样就可以不用借助有序数组来定义向量，可以考虑非常一般的情况，即不引入外部结构.

线性无关

$V$的一组向量$v_1,...,v_m$线性无关，当且仅当$a_1v_1+...+a_mv_m=0$只有$a_1=...=a_m=0$时成立，规定$()$线性无关.

类似直和，线性无关实际上规定了$span$中任意向量只能被唯一表示.

若$v=b_1v_1+...+b_mv_m,v=b_1'v_1+...+b_m'v_m$，相减得$0=(b_1-b_1')v_1+...+(b_m-b_m')v_m$，若v的表示唯一则0的表示唯一，若0的表示唯一即线性无关则v表示唯一.

特例时，线性无关组中也不能有向量能被其余向量表示，若$v_k=a_1v_1+...+a_mv_m$，移项得$0=a_1+v_1+...-v_k+...+a_mv_m$，$-1\neq 0$与线性无关矛盾.进一步可以退出线性无关组中没有$0$.

线性相关

若不是线性无关则线性相关，即存在一种表示使得存在$a_k\neq 0$.

线性相关引理

若$v_1,...,v_m$是线性相关组，则存在$1\leq j\leq m$使得

1. $v_j\in span(v_1,...,v_{j-1})$
2. 若去掉$v_j$，张成空间不变

所以线性相关组中一定有元素对张成空间“没有贡献”，可以通过删除得到线性相关组.

这样的定义方便取一个任意的序进行删除操作，方便证明.

但是通过删除得到了线性无关组，一定还能再删，还是线性无关组.也就是说，线性无关组的长度可以任意小.仅仅只有线性无关这一条件还不够强.

假设删掉$v_m$后$0=a_1v_1+...+a_{m-1}v_{m-1}$的系数不唯一，加上$0v_m$仍成立，即原组线性无关矛盾.

删除多个元素归纳即可.

线性无关组的长度可以任意小也就是下面命题的直观理解.

2.23 线性无关组的长度$\leq$张成组的长度

若有线性无关组$u_1,...,u_m$，而$w_1,...,w_n$张成$V$，即证$m\leq n$.

考虑一个算法：

第$1$步：将组$w$扩张为$u_1,w_1,...,w_n$，必然线性相关，所以可以删去一些元素.
$u_1$可被$w$表示，$u_1=a_1w_1+...+a_nw_n$，而$u$是线性无关组，$u_k\neq 0$，所以存在$a_k\neq 0$.$w_k$可被其余元素表示，所以可以删去一个$w_k$.新组长度仍为$n$.

第$j$步：向上一步产生的组中加入$u_j$，形成$u_1,...,u_j,\{w\}$，长度为$n+1$，在张成组上添加一个元素，成为线性相关组.$u_1,...,u_j$线性无关，利用线性相关引理，可以删去一个$w$.如果中途没加完$v$就把$w$删完了，那再加入$v$，形成的是线性相关组，与线性无关组子集仍线性无关矛盾.所以$m\leq n$.

2.26 有限维子空间

若$V$是有限维空间，子空间$U$也是有限维.

还是考虑一个算法：

若$U=\{0\}$，显然有限维，结束.

第$1$步：取$v_1\in U,v_1 \neq 0$.

第$j$步：若$U=span(v_1,...,v_{j-1})$，$U$是有限维，结束。否则加入$v_j\notin span(v_1,...,v_{j-1})$。

由线性相关引理，每一步产生的都是一个线性无关组（不存在一个$v$可以被之前的$v$表示）。

而该线性线性无关组在$V$中，$V$存在张成组，所以该线性无关组的构造一定会停止，即$U$能被该组张成，$U$就是有限维的.

非常重要的构造方法，有点像线性基的构造.

习题 2.A

14. 证明：$V$是无限维的当且仅当对于任意$m$，$V$中都存在一个向量序列$v_1,...v_m$线性无关.

考虑逆否命题，即证$V$是有限维当且仅当存在一个$m$，$V$中任意$v_1,...,v_m$都线性相关.

充分性：线性无关组长度$\leq$ 张成组长度.取$m=$张成组长度+1即可.

必要性：考虑上面的加入元素的证明过程，因为存在一个$m$，而构造时每一次产生的向量组都是线性无关的，所以这个加入一定会在某一步停止，即$V$能被一组向量张成.

很重要的判定的二级结论.

2.B 基

2.27 定义

若$V$的一个向量组，既线性无关又张成$V$，则是$V$的一个基.

$\mathbb F^n$的标准基是$(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,...,0,1)$，共$n$个向量.

$P_m(\mathbb F)$的基是$1,z,...,z^m$.

比如$\R^2$的两条轴.

2.29 基的判定

$v_1,...,v_m$是基当且仅当任意$v\in V$可以唯一写成$v=a_1v_1+...+a_mv_m$.

即满足张成也满足线性无关.

2.31 张成组含有基

之前提到张成组如果线性无关一定可以通过删除元素，不改变张成空间而变为线性相关组.

所以张成组只要一直删就能得到基.

2.32 有限维向量空间都有基

有张成组，就有基.

2.33 有限维空间中线性无关组可以扩充为基

考虑一个一个试着将一个基中的元素插入线性无关组. 也就是将基和线性无关组并起来得到新的张成组，再用2.31化为基.
dy

2.34 V可表为子空间的直和

有限维$V$，对于任意子空间$U$，必存在$W$使得$V=U\oplus W$.

若$U$的基为$u_1,...,u_n$，可以用$V$的基$v_1,...$拓展为$u_1,...,u_n,v_1,...,v_m$也是$V$的基.

取$W=\mathrm{span}(v_1,...,v_m)$，线性无关，所以是$W$的基.

不难发现$V=U+W$，只要证$U\cap W=\{0\}$.

$a_1u_1+...+a_nu_n=b_1v_1+...+b_mv_m$，移项后是$V$的基，而线性无关，所有系数唯一均为$0$得证.

这样取一个小的空间的基再逐步拓展的想法很常用.

2.C 维数

基可以有很多组，什么是相同的？

2.35 基的长度不依赖于基的选取

即证任意两个基长度一样.

一个基有双重身份：既是生成组又是线性无关组. 利用之前的线性无关组和生成组的不等式，如果有$B_1,B_2$，则$B_1\geq B_2,B_1\leq B_2,B_1=B_2$.

2.36 维数的定义

定义有限维向量空间的维数是基的长度.

看起来无限维向量空间的维数就是$\infty$而且可以和有限维的维数比较？

实际上是很对的，虽然很多性质还是要具体证明，但可以这么直观理解.

2.38 子空间的维数

$\dim U \leq \dim V$

$U$的基是$V$中线性无关组，$V$的基是$V$的张成组，由前面的不等式立刻可得.

2.39 长度得当的线性无关组是基

考虑一长度就是维数的线性无关组，按照之前的线性无关组可以扩充为基的证明，此处没有加入任何新的元素就达到了基的长度，所以是基.

2.42 长度得当的张成组是基

考虑一长度就是维数的张成组，按照之前的张成组可以删除得到基的证明，此处没有删除任何新的元素就达到了基的长度，所以是基.

很自然的推论：

1. $U$是$\{0\}$当且仅当$\dim U=0$

   考虑逆否命题：子空间$U$包含非$0$元素当且仅当$\dim U>0$

   充分性：包含非0元素则可选一个$v$自己就是线性无关组，而基是张成组大于等于线性无关组长度，所以$\dim U>0$.

   必要性：$\dim U>0$则可取基，基是线性无关组非$0$，则必有非$0$元素.

2. $U=V$当且仅当$\dim U =\dim V$

   充分性显然.

   必要性：$U$的基是一个$V$线性无关组，而具有得当长度的线性无关组是基，所以$U$的一组基都是$V$的一组基，故$\forall u\in U,u\in V,\forall v\in V,v\in U$，即$U=V$.

2.43 和空间的维数

$\dim (U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2)$

先考虑小的部分$U_1\cap U_2$的基，然后分别拓展到$U_1,U_2$的基，最后证明这些基的并就是$U_1+U_2$的基.

看起来很像容斥，可以拓展到三个甚至多个的情况吗？

考虑$x$轴，$y$轴，还有$y=x$的直线，可以发现是错的.

直和的交是$\{0\}$，所以直和时，维数就是相加.

习题 2.C

9. $v_1,...,v_m$线性无关，$w\in V$，证明$\dim\mathrm{span}(v_1+w,...,v_m+w)\geq m-1$.
   由之前的习题，可以知道生成组的元素加加减减张成空间不变，所以左边的生成空间就是$\mathrm{span}(v_1+w,v_2-v_1,...,v_m-v_1)$，而$v$线性无关，故$v_2-v_1,...,v_m-v_1$线性无关，生成组长度大于等于线性无关组的长度，所有原命题得证.