Linear Algebra Done Right: 3

线性映射

3.A 向量空间的线性映射

3.2 线性映射的定义

$T:V\rightarrow W$，若

1. 加性：$T(u+v)=Tu+Tv$
2. 齐（次）性：$T(\lambda v)=\lambda Tv$

则称$T$是从$V$到$W$的线性映射，记其组成的集合为$\mathcal L(V,W)$.

例子：零映射，恒等映射，微分，积分，移位，调换位置等等都是，而移位和调换位置在构造中很有用.

3.6 线性映射之间的运算

定义$\mathcal L(V,W)$上的加法和数乘，其结果都是一个新的线性映射且对于全体$v\in V$都成立

1. $(S+T)v=Sv+Tv$
2. $(\lambda T)v=\lambda (Tv)$

如果觉得难以理解可以类别多项式的运算，重新审视会发现多项式间本没有运算，都是人为的定义.

3.7 $\mathcal L(V,W)$是向量空间

有加法有数乘，而且满足结合交换，对数乘分配，加法单位元即是零映射$0(v)=0$.

3.5 确定了基的像就确定了唯一的线性映射

若$v_i\rightarrow w_i$，$v_i$是$V$的基，则有唯一一个线性映射满足$Tv_i=w_i$.

直接考虑$T(c_iv_1+...+c_nv_n)=c_1w_1+...+c_nw_n$，显然是满足线性映射的条件且确定了$v_i$的像.

而如果线性映射确定了$v_i$的像，则用线性映射的性质加起来可以得到生成空间上的线性映射，也是这种形式.

实际上为用矩阵表示线性映射打下了基础，即矩阵和有限维向量空间的线性映射是一一对应的.

3.8 定义线性映射的乘积

定义$T\in \mathcal L(U,V),S\in\mathcal L(V,W)$，则$\forall u\in U,(ST)u=S(Tu)$.

即定义线性映射的乘积是线性映射的复合.

3.9 线性映射乘积的性质

1. 结合律：$T_1T_2T_3=(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)$
2. 有单位元：$TI=IT=T$
3. 对加法分配：$(A+B)T=AT+BT,T(A+B)=TA+TB$.

可以理解为函数的复合.

但是交换律不一定成立.

3.11 0的像恒为0

$T0=T(0+0)=T0+T0,T0=0$.

习题 3.A

• 8. 构造$\varphi:\R^2\rightarrow \R,\forall a \in \R,v\in R^2,\varphi(av)=a\varphi (v)$但不是线性映射.

  构造齐次的即可.

  $\varphi (x,y)=\sqrt[3]{xy^2}$

• 9. 构造$\varphi:\mathbb C\rightarrow \mathbb C,\forall x,y \in \mathbb C,\varphi(x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)$但不是线性映射.

  复数乘法会改变实部虚部的结构，考虑从此入手.

  $\varphi(a+bi)=a$

• 12. $V$有限维，$\dim V>0$，$W$无限维，证明$\mathcal L(V,W)$是无限维的.

  任取$m$，都有$w_1,...,w_m$线性无关，设$v_0 \in V,v_0\neq 0,T_iv_0=w_i(1\leq i\leq m)$.

  则$a_1w_1+...+a_mw_m=0$只要系数均为0，则$a_1T_1v_0+...+a_mT_mv_0=0$，即$(a_1T_1+...+a_mT_m)v_0=0$，即如果$a_1T_1+...+a_mT_m$是零映射，必然每个点处取值都是0，故$v_0$处取值也是$0$，而只有系数均为0才能满足$v_0$处取值是0，所有如果是零映射，系数均为$0$.

  故$T_i$线性无关，长度可以任意长，$\mathcal L(V,W)$是无限维的.

• 13. $v_1,...,v_m$线性相关，$W\neq \{0\}$，证明存在$w_1,...,w_m$使得没有线性映射满足$Tv_k=w_k$.

  线性相关可以翻译成$a_1v_1+...+a_mv_m=0,\exist a_k\neq 0$.

  取$w_k\neq 0$，其余$w_i=0$.

  若存在，两边代入$T$有$a_iw_i\neq 0$，矛盾.

• 14. 设$V$有限维且$\dim V \geq 2$，证明存在$S,T\in \mathcal L(V,V)$，$ST\neq TS$.
      设基为$v_1,...,v_n$.

  取$Tv_1=v_2,Tv_2=0,Tv_k=v_k;Sv_2=v_1,Sv_1=0,Sv_k=v_k$.

  代入$v_1+v_2$可知不相等.

3.B 零空间和值域

3.12 零空间的定义

$\mathrm{null}\,T=\{v\in V:Tv=0\}$.

3.14 零空间是子空间

证加法数乘即可.

3.15 单

$Tu=Tv$必有$u=v$.

3.16 单射性等价于零空间是$\{0\}$

充分性：0的像一定是0，单射，故零空间是$\{0\}$.

必要性：$Tu=Tv \Longleftrightarrow T(u-v)=0$，零空间只有0，故$u=v$.

3.17 值域的定义

$\mathrm{range}\,T=\{Tv:v\in V\}$.

3.19 值域是子空间

0的像是0，还是证加法数乘封闭即可.

3.20 满

$T：V\rightarrow W,\mathrm{range}\,T=W$.

3.22 线性映射基本定理

$V$有限维，则$\dim V=\dim \mathrm{null}\,T+\dim \mathrm{range}\,T$.

还是先取$\mathrm{null}\,T$的基$u_1,...,u_m$，拓展为$V$的基$u_1,...,u_mv_1,...,v_n$，再证$Tv_i$是$\mathrm{range}\,T$的基.

若$v=a_1u_1+...+a_mu_m+b_1v_1+...+b_nv_n$，代入$T,Tv=b_1Tv_1+...+b_nTv_n$，故确实张成了$\mathrm{range}\,T$.

下证线性无关.

$b_1Tv_1+...+b_nTv_n=0 \Longleftrightarrow b_1v_1+...+b_nv_n=c_1u_1+...+c_mu_m$，$V$的基线性无关，所以系数均为0，得证.

很自然地可以发现，单和满其实是两个对偶的概念，在有限维向量空间中，单等价于满.

在以后还会看到，有限维向量空间中单，满，可逆都是等价的.

3.23 到更小维数的向量空间的线性映射不是单的

3.24 到更大维数的向量空间的线性映射不是满的

3.26 变量多于方程的齐次线性方程组必有非0解

3.29 方程多于变量的非齐次线性方程组，必有一组常数使其无解

如果$T:V\rightarrow V$，因为$\mathrm{null}\,T+\mathrm{range}\,T$是$V$的子空间，只要交是$\{0\}$就是直和.

直观想象，$T:V\rightarrow V$就像一个筛子，每用一次，不是所有值都能被映射到，所以$\mathrm{range}\,T$会越来越小，相应的，$\mathrm{null}\,T$会越来越大.

而$V$是有限维向量空间，这个过程不可能一直持续，直观上感觉，如果$T$迭代若干次，一定会有值域和零空间的交为$\{0\}$.

下面进行一个严格证明.

习题 3.B

这章习题写得太难受了，很多构造的技术，所以每道题都写.

$V=\mathbb R^5,T(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_1,x_2,0,0,0)$

$(ST)^2=STST=S(TS)T=S0T=S0=0$

(a) $T$是满的

(b) $T$是单的

4. 非自主

只有用加法才能构造出不封闭.

$\mathbb R^5$的基为$v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$，$\mathbb R^4$的基为$w_1,w_2,w_3,w_4$.

$T_1v_i=0(i=1,2,3),T_1v_4=w_1,T_1v_5=w_2$

$T_2v_i=0(i=1,2,4),T_2v_3=w_3,T_2v_5=w_4$

$(T_1+T_2)v_i=0(i=1,2),(T_1+T_2)v_3=w_3,(T_1+T_2)v_4=w_1,(T_1+T_2)v_5=w_2+w_4$

$v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5,(T_1+T_2)v=a_3w_3+a_4w_1+a_5(w_2+w_4)$，故$(T_1+T_2)v=0$当且仅当$v=(a_1,a_2,0,0,0)$，$w_1,w_2$是$\mathrm{null}\,T$的基，$\dim\,\mathrm{null}\,T=2$.

构造“错位”确实是很重要的构造思想.

等价于$\mathbb R^4\stackrel{T}{\longrightarrow}\mathrm{range}\,T\stackrel{T}{\longrightarrow}0$

$T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_3,x_4,0,0)$

$\dim \,V=\dim\,\mathrm{range}\,T+\dim\,\mathrm{null}\,T$

奇偶性不对.

抓住$\dim\,\mathrm{null}\,T=0 \Longleftrightarrow T$单，还是用加法和“错位”构造矛盾.

设$\dim\,V=n,\dim\,W=m$，$V$的基为$v_1,...,v_n$，$W$的基为$w_1,...,w_m$，构造$n$个线性映射.

$T_iv_i=0,T_iv_j=w_j(j\neq i)$

$T_i$的零空间维数不是$0$，必然不单.

$\forall v=a_1v_1+...+a_nv_n\in V$

$(T_1+...+T_n)v=(n-1)(a_1w_1+...+a_nw_n)$

$w_1,...,w_n$线性无关，故$(T_1+...+T_n)v=0\Longleftrightarrow a_1=...=a_n=0$，即$\mathrm{null}\,T_1+...+T_n=\{0\}$.

故题中所给这个集合对加法不封闭，不是子空间.

类似上面的，构造$m$个线性映射，取$T_iv_i=w_i,T_iv_j=0(j\neq i)$.

$\dim \mathrm{range} \,T_i\leq 1$，$T_i$必然不满.

$\forall v=a_1v_1+...+a_nv_n\in V$

$(T_1+...+T_m)v=a_1w_1+...+a_mw_m$

显然是满的，矛盾.

和上题类似，只要有缺项形式即可.

$T$是单的，$\mathrm{null}\, T=\{0\}$.

$a_1Tv_1+...+a_nTv_n=0\Longleftrightarrow T(a_1v_1+...+a_nv_n)=0\Longleftrightarrow a_1v_1+...+a_nv_n=0$.

$v_1,...,v_n$线性无关，故当且仅当$a_1...,a_n$均为$0$.

故$\{Tv_i\}$线性无关.

$\forall v=a_1v_1+...+a_nv_n\in V$

$\forall w=Tv=a_1Tv_1+...+a_nTv_n$

得证.

下归纳证明.

$n=1,S_1$是单射.

若对$n=k$成立，当$n=k+1$时，$T=S_kS_{k-1}...S_1$

若$S_{k+1}T(u)=S_{k+1}T(v)$

$S_{k+1}$为单射，故$Tu=Tv$

$T$是单射，故$u=v$.

所以当$n=k+1$时也成立.

故对于任意正整数$n$，命题成立.

由前面的结论，$\exist U,V=U\oplus \mathrm{null}\,T$

则$U\cap \mathrm{null}\,T={0}$.

设$U$的基为$u_1,...,u_m$，$\mathrm{null}\,T$的基为$v_1,...,v_n$.

由直和的定义，并起来就是$V$的基.

$\forall v=a_1u_1+...+a_mu_m+b_1v_1+...+b_nv_n\in V$

$Tv=T(a_1u_1+...+a_mu_m)=Tu$

$\mathrm{null}\,T=(5x_2,x_2,7x_4,x_4),\dim \mathrm{null}\,T=2$

则$\dim \mathrm{range}\,T=2$

而$\mathrm{range}\,T\subseteq \mathbb F^2$

由前面证过的二级结论，$\mathrm{range}\,T= \mathbb F^2$，$T$是满的.

可以看出基在刻画向量空间方面力量无穷.

$\dim \mathrm{range}\,T=5$，故$T$是满的.

假设存在.

$\mathrm{null}\,T=(3x_2,x_2,x_3,x_3,x_3),\dim\mathrm{null}\,T=2$.

而$\dim \mathrm{range}\,T=3>2$，与$\mathrm{range}\,T\subseteq \mathbb F^2$矛盾.故不存在.

假设$V$是无限维.

$\dim\mathrm{null}\,T=m$，$\mathrm{null}\,T$的基为$v_1,...,v_m$.

由著名二级结论，可拓展为$v_1,...,v_m,...,v_n,\forall n>m$仍线性无关.

考虑$a_{m+1}Tv_{m+1}+...+a_nTv_n=0$.

即$a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_mv_m$

线性无关，只有均为$0$.

故$Tv_{m+1},...,Tv_n$线性无关，$n$可以任意大，故$\mathrm{range}\,T$为无限维空间，矛盾.

所以$V$是有限集.

充分性：

$\dim\mathrm{null}\,T=0$，则$\dim V=\dim\mathrm{range}\,T\leq \dim W$.

必要性：

$\dim V=n\leq \dim W=m$.

设$V$的基是$v_1,...,v_n$，$W$的基是$w_1,...,w_m$.

构造$Tv_i=w_i,1\leq i\leq n$

下证$\mathrm{null}\,T=\{0\}$

$Tv=T(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1w_1+...+a_nw_n=0$

$w$是基，故只有系数均为$0$，即只有$T(0)=0$.

充分性：

$\mathrm{range}\,T=W$，则$\dim V=\dim\mathrm{range}\,T+\dim\mathrm{null}\,T\geq \dim W$.

必要性：

$\dim V=n\geq \dim W=m$.

设$V$的基是$v_1,...,v_n$，$W$的基是$w_1,...,w_m$.

构造$Tv_i=w_i,1\leq i\leq m$

下证$\mathrm{range}\,T=W$

$Tv=T(a_1v_1+...+a_mv_m)=a_1w_1+...+a_mw_m$

反过来，$\forall w=a_1+...+a_mw_m,\exist v,Tv=w$，所以$rangeT \supseteq W,rangeT=W$.

充分性：

$\dim\mathrm{null}\,T=\dim V-\dim\mathrm{range}\,T \geq \dim V-\dim W$

必要性：

若$n\leq m$，$\forall 0\leq k \leq n,Tv_i=0(1\leq i\leq k),Tv_i=w_{i-k}(k+1\leq i\leq n)$

$Tv=0,a_{k+1}w_1+...+a_nw_{n-k}=0$，$w$线性无关，系数均为$0$，$a_1,...,a_k$可任取，即$\mathrm{null}\,T$的基是$v_1,...,v_k$.

若$n> m$类似，也取$k$个基被映射成$0$即可，其余映射到$w$，只是$k$的下限变了，但还是能满足非$0$的都能被映射到不同的$w$.